حل تمرین صفحه 27 فصل دوم ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: برای کامل کردن جدول، عضویت هر عدد در مجموعه‌های مختلف اعداد را بررسی می‌کنیم. (✓: عضو است, ×: عضو نیست) | مجموعه اعداد | $ \frac{\sqrt{۳}}{۲} $ | $ \frac{۱}{۲} $ | ۰ | $ \pi $ | $ -\frac{۳}{۴} $ | $۰.۲۹۲۲۹...$ | $ -۱۰ $ | $ \frac{۶}{۲}=۳ $ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | $ \mathbb{N} $ طبیعی | × | × | × | × | × | × | × | ✓ | | W حسابی | × | × | ✓ | × | × | × | × | ✓ | | $ \mathbb{Z} $ صحیح | × | × | ✓ | × | × | × | ✓ | ✓ | | $ \mathbb{Q} $ گویا | × | ✓ | ✓ | × | ✓ | × | ✓ | ✓ | | $ \mathbb{Q}' $ گنگ | ✓ | × | × | ✓ | × | ✓ | × | × | | $ \mathbb{R} $ حقیقی | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | **توضیحات:** * **$ \frac{۶}{۲}=۳ $:** یک عدد طبیعی، حسابی، صحیح، گویا و حقیقی است. * **$-۱۰$:** یک عدد صحیح، گویا و حقیقی است. * **$۰.۲۹۲۲۹...$:** چون الگوی تکرار شونده منظمی ندارد، گنگ و حقیقی است. * **$ \pi $ و $ \frac{\sqrt{۳}}{۲} $:** اعداد گنگ و حقیقی معروفی هستند. * **$ \frac{۱}{۲} $ و $ -\frac{۳}{۴} $:** کسرهایی هستند که به عدد صحیح تبدیل نمی‌شوند، پس گویا و حقیقی هستند. * **۰:** یک عدد حسابی، صحیح، گویا و حقیقی است.

پاسخ تشریحی: **الف) تفاوت A و B:** * **تفاوت اصلی:** مجموعه‌ی A شامل **تمام اعداد حقیقی** بین ۱.۵ و ۵ است، در حالی که مجموعه‌ی B **فقط شامل اعداد گویای** این بازه است. * **دلیل:** مجموعه‌ی A علاوه بر اعداد گویا (مانند ۲، ۳.۵، ۴)، اعداد گنگ (اصم) را نیز در بر می‌گیرد. برای مثال، عدد $ \pi \approx ۳.۱۴ $ عضو مجموعه‌ی A است ولی عضو مجموعه‌ی B نیست. پس مجموعه‌ی A بسیار بزرگتر از مجموعه‌ی B است. **ب) تفاوت C و D:** * **تفاوت اصلی:** مجموعه‌ی C یک مجموعه‌ی **متناهی (گسسته)** است که فقط شامل ۵ عضو صحیح است. در مقابل، مجموعه‌ی D یک مجموعه‌ی **نامتناهی (پیوسته)** است که شامل تمام اعداد حقیقی بین ۳ و ۹ می‌باشد. * **دلیل:** مجموعه‌ی D شامل بی‌نهایت عدد است (اعداد صحیح، کسری و گنگ) که در مجموعه‌ی C وجود ندارند. برای مثال، اعداد $۴.۵$, $ \sqrt{۲۰} $ و $۸.۹$ همگی عضو D هستند، اما عضو C نیستند. در واقع، C زیرمجموعه‌ای از D است ($ C \subset D $).

پاسخ تشریحی: ۱) **$ \mathbb{N} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z} $** * **دلیل:** چون مجموعه‌ی اعداد طبیعی ($ \mathbb{N} $) زیرمجموعه‌ی اعداد صحیح ($ \mathbb{Z} $) است، اجتماع آنها برابر با مجموعه‌ی بزرگتر یعنی $ \mathbb{Z} $ می‌شود. ۲) **$ \mathbb{R} - \mathbb{Q}' = \mathbb{Q} $** * **دلیل:** مجموعه‌ی اعداد حقیقی ($ \mathbb{R} $) از دو بخش اعداد گویا ($ \mathbb{Q} $) و گنگ ($ \mathbb{Q}' $) تشکیل شده است. اگر اعداد گنگ را از آن حذف کنیم، اعداد گویا باقی می‌مانند. ۳) **$ \mathbb{Z} \cap \mathbb{N} = \mathbb{N} $** * **دلیل:** چون مجموعه‌ی اعداد طبیعی ($ \mathbb{N} $) زیرمجموعه‌ی اعداد صحیح ($ \mathbb{Z} $) است، اشتراک آنها برابر با مجموعه‌ی کوچکتر یعنی $ \mathbb{N} $ می‌شود. ۴) **$ \mathbb{R} \cap \mathbb{Q}' = \mathbb{Q}' $** * **دلیل:** چون مجموعه‌ی اعداد گنگ ($ \mathbb{Q}' $) زیرمجموعه‌ی اعداد حقیقی ($ \mathbb{R} $) است، اشتراک آنها برابر با مجموعه‌ی کوچکتر یعنی $ \mathbb{Q}' $ می‌شود.

پاسخ تشریحی: برای پیدا کردن پاسخ، ابتدا باید محدوده‌ی عدد $ \sqrt{۵} $ را پیدا کنیم. **مرحله ۱: پیدا کردن محدوده‌ی $ \sqrt{۵} $** ما مربع کامل اعداد صحیح را می‌دانیم: $ ... , ۲^۲=۴ , ۳^۲=۹ , ... $ چون عدد ۵ بین ۴ و ۹ قرار دارد، پس: $ ۴ < ۵ < ۹ $ با گرفتن جذر از هر سه طرف نامساوی، داریم: $ \sqrt{۴} < \sqrt{۵} < \sqrt{۹} $ $ ۲ < \sqrt{۵} < ۳ $ **مرحله ۲: اضافه کردن عدد ۱ به نامساوی** حالا به هر سه طرف نامساوی بالا عدد ۱ را اضافه می‌کنیم: $ ۲ + ۱ < \sqrt{۵} + ۱ < ۳ + ۱ $ $ ۳ < ۱ + \sqrt{۵} < ۴ $ **نتیجه:** عدد $ ۱ + \sqrt{۵} $ بین دو عدد صحیح متوالی **۳ و ۴** قرار دارد.

پاسخ تشریحی: اعداد گنگ اعدادی هستند که نمایش اعشاری غیرتکراری و نامتناهی دارند. ساده‌ترین راه برای ساختن آنها، استفاده از جذر اعداد غیرمربع کامل یا استفاده از عدد $ \pi $ است. * **الف) بین ۲- و ۵:** می‌توانیم اعداد گنگ معروفی که در این بازه هستند را بنویسیم: $ \sqrt{۲} \approx ۱.۴۱ $, $ \sqrt{۳} \approx ۱.۷۳ $, $ \pi \approx ۳.۱۴ $, $ \sqrt{۵} \approx ۲.۲۳ $ * **ب) بین ۶ و ۷:** $۶ = \sqrt{۳۶}$ و $۷ = \sqrt{۴۹}$. باید جذر اعداد غیرمربع کامل بین ۳۶ و ۴۹ را بنویسیم: $ \sqrt{۳۷}, \sqrt{۳۸}, \sqrt{۴۰}, \sqrt{۴۱} $ * **ج) بین $ \sqrt{۳} $ و ۶:** $ \sqrt{۳} \approx ۱.۷۳ $ و $۶ = \sqrt{۳۶}$. باید جذر اعداد غیرمربع کامل بین ۳ و ۳۶ را بنویسیم: $ \sqrt{۵}, \sqrt{۶}, \sqrt{۷}, \sqrt{۸} $ (توجه: $ \sqrt{۴} $ گنگ نیست) * **د) بین $ \sqrt{۲} $ و $ \sqrt{۴.۱} $:** $ \sqrt{۲} \approx ۱.۴۱ $ و $ \sqrt{۴.۱} \approx ۲.۰۲ $. باید جذر اعداد غیرمربع کامل بین ۲ و ۴.۱ را بنویسیم: $ \sqrt{۲.۱}, \sqrt{۲.۵}, \sqrt{۳}, \sqrt{۳.۵} $

پاسخ تشریحی: ۱) **[✓] عددی وجود دارد که صحیح و گویا باشد.** * **مثال:** عدد **۵** هم یک عدد صحیح است و هم یک عدد گویا، چون می‌توان آن را به صورت $ \frac{۵}{۱} $ نوشت. ۲) **[×] عددی وجود دارد که گویا و گنگ باشد.** * **دلیل:** مجموعه‌ی اعداد گویا و گنگ هیچ اشتراکی ندارند. یک عدد نمی‌تواند همزمان در هر دو مجموعه باشد. ۳) **[✓] عددی وجود دارد که حقیقی و گنگ باشد.** * **مثال:** عدد **$ \pi $** یک عدد گنگ است و تمام اعداد گنگ، حقیقی نیز هستند. ۴) **[✓] عددی وجود دارد که حقیقی و طبیعی باشد.** * **مثال:** عدد **۱۰** یک عدد طبیعی است و تمام اعداد طبیعی، حقیقی نیز هستند.

پاسخ تشریحی: برای دیدن تفاوت، ابتدا نمایش اعشاری هر دو عدد را به دست می‌آوریم: * **عدد $ \frac{۳}{۱۱} $:** این یک عدد **گویا** است. با تقسیم صورت بر مخرج داریم: $ \frac{۳}{۱۱} = ۰.۲۷۲۷۲۷... = ۰.\overline{۲۷} $ نمایش اعشاری این عدد، **متناوب (تکراری) و نامتناهی** است. یعنی گروهی از ارقام (در اینجا ۲۷) تا بی‌نهایت تکرار می‌شوند. * **عدد $ \sqrt{۱۰} $:** این یک عدد **گنگ (اصم)** است، زیرا ۱۰ مربع کامل نیست. $ \sqrt{۱۰} \approx ۳.۱۶۲۲۷۷۶۶... $ نمایش اعشاری این عدد، **غیرمتناوب و نامتناهی** است. یعنی ارقام آن تا بی‌نهایت ادامه دارند ولی هیچ الگوی تکرار شونده‌ی منظمی ندارند. **تفاوت اصلی:** تفاوت کلیدی در **وجود یا عدم وجود الگوی تکراری** در ارقام اعشاری آنهاست.